کارل منهایم ( ریاضیدان رمانتیک)

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

ریاضیدان رمانتیک






کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا،نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.




وی معتقد است هرپژوهنده ای جهان را مطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.




منهایم معتقد است: «این که دو ضربدر دو برابر است با چهار، بههیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده، در صورتیکه در مورد یک اثر تحقیقی در علوم اجتماعی ...می توانیم از «نفوذ پایگاه اجتماعی» پژوهنده در نتایج تحقیقی اش سخن بگوییم» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقههمچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند،از این رو نمی توان این علوم را به شرایط زندگانی، بویژه جایگاه و مقام دانشمندی که به بسط و توسعه آنها مشغول است، مرتبط نمود.




به بیانی دیگر، عوامل اجتماعی نمیتوانند در نتایج این گونه اندیشه ها تأثیر گذار باشند و نشانه هایی که نمایانگر اصلو منشأ انسانی آنهاست، در این علوم هویدا نیست.




اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخینشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند که پدیدآورندگان آنها در آن زندگی می کنند.




دراین مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد.

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

۱) اعتراف نامه ایمان





لوئیتزن اخبرتوسیان براور در ۲۷ فوریه ۱۸۸۱ در حالی که تنها دو دهه به پایان قرن نوزدهم - عصراحساس- باقی بود در هلند به دنیا آمد.




وی در ۱۸۹۰ در سن ۹ سالگی وارد دبیرستان شد کهاین امر تا آن زمان سابقه نداشت.




دوران دبیرستان براور بدون هیچ مشکلی سپری شد و درتمام مدت تحصیل شاگرد اول بود.




در سال ۱۸۹۵ موفق به دریافت مدرک دبیرستان شد.




درپائیز ۱۸۹۷ براور در سن ۱۶ سالگی در رشته ریاضیات در دانشگاه شهری آمستردام ثبت نامکرد.




او درس هایش را با شور و شوق فراوانی آغاز کرد.




بزودی نبوغ ریاضی وی به وسیله استادان و دانشجویان سال های بالاتر شناخته شد.




او از این که به عنوان دانشجوی سالاولی برای عضویت در جامعه «گروه دانشجویان» دعوت شده بود، احساس لذت می کرد اماگروه های شلوغ دانشجویان با آن هیاهوی دوران جوانی چندان مورد پسند براور نبود ورضایت خاطر وی را فراهم نمی کرد.




او اساساً فردی اجتماعی نبود.تکبر و کمرویی وی رااز ریاضیدانان جوان بزرگتر از خودش دور نگه می داشت.




او بیشتر علاقه مند بود کهاوقاتش را در خانه و در جمع دوستان شاعرش بگذراند، کسانی همچون کارل آدما واناسخلتما، جان لاک هرست و آلبرت پلاشرت.




این شاعران جوان متعلق به جنبش رمانتیسم قرننوزدهم بودند و روابط نزدیک براور با آنها سبب شد که وی تحت تأثیر افکار و اندیشه های عصر احساس قرار گیرد که نمودهای آن را می توان در بدبینی و انزواطلبی وی بخوبیدید.





براور در سن ۱۷ سالگی در کلیسای هارلم اعتراف نامه ای را ایراد کرد.




وی در «اعتراف نامه ایمان» خود همچون پیتیست ها بر نقش اساسی مکاشفه و راز و نیاز فردیبرای درک خداوند تکیه کرد تا بر استدلال های خشک فلسفی و کلامی.




براور در بخشی ازاین اعترافات از مبانی بنیادین ایمانش به خدا می پرسد.




او معتقد است که ایمان وی به خدا به خاطر استدلال های عقلانی مبتنی بر پدیده های اطراف وی نیست، بلکه برعکس ویدر اعتقاد به خدا از فکر و اندیشه اش به هیچ عنوان کمک نمی گیرد.




براور همچون رمانتیست های هم عصرش از عقل می گریزد و سعی دارد که تمام اعتقادات خود را بر پایهاحساس و شهود بنا نماید.




از نظر او تنها حقیقت، «احساس» خودش است و هیچ واقعیت دیگریمستقل از خودش برای او وجود ندارد.





براور در سال ۱۹۰۴ ازدواج کرد و در طول سالهای اولیه زندگی مشترکش بیش از پیش در خود فرو می رفت.




او در جست وجو ی تنهایی ازآپارتمانی به آپارتمان دیگری در آمستردام نقل مکان می کرد.




تنها دوستان نزدیک ویهمان سه شاعر رمانتیک بودند.




براور گرچه در بیان هنرمندانه احساساتش ناتوان بود، امااحساس قرابت بسیاری با خلق و خوی رمانتیک دوستانش می کرد.




بویژه خصلت هایی همچونبدبینی و یأس از جامعه معاصر و طغیان علیه همه اشکال استقرار یافته آن.





وی درتلاش برای بازیافتن خویش، در سال ۱۸۹۹ در حالی که خرقه مشکی گشادی به تن داشت،پیاده سفری به ایتالیا کرد و به زیارت فلورانس و رم رفت.




این سفرها نگرشی جهان وطنیبه اودادند و سبب فرو رفتن وی در خود و تفکر درباره موضوعاتی همچون:




خود، زندگی،ارتباطات بشری، حقیقت و علم شد.




این تفکر و تعمق که حاصل روحیه رمانتیک وی بود،افسردگی شدیدی را برای براور در پی داشت و سبب غیبت وی در کلاس های دانشگاه شد.




امافشار خانواده و نیاز به امنیت شغلی و ضعف جسمانی او برای انجام شغل دیگری، مانع ترکفوری تحصیل اش شد، اما این که کل زندگی اش را به ریاضیات اختصاص دهد برایش بیشتر وبیشتر تحمل ناپذیرتر می شد.




او خودش را منزوی کرد و در انزوای خود از بیماری عصبی ومزاجی اش رنج می برد و سعی در تحمل حملات عصبی اش داشت.

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

۲) جهان غمگین





ملاقات براور با ریاضیدان خودساخته ای به نام خریت مانوری تأثیر عمیقی بر وی گذاشت و سبببازگشت وی به تحصیل و توجه به مسائلی در بنیادهای ریاضیات شد.




به طوری که در فوریهسال ۱۹۰۴ مقاله ای درباره توپولوژی در مجله انجمن سلطنتی هلند منتشر کرد.




وی در ژوئن همان سال امتحانات نهایی دانشگاه را گذراند.




وی پایان نامه اش را با دیدریک یوهانسکورتوخ، ریاضیدان کاربردی برجسته، گذراند و در فصل هایی از آن به مباحث بنیادینریاضیات پرداخت.




این سال ها همزمان با گسترش فلسفه در میان عامه مردم در هلندبود.




بولند فیلسوف خودساخته ای بود که در این زمینه فعالیت بسیاری داشت.




حملاتشدیداللحن وی به ماتریالیسم و لذت گرایی توجه براور را به خود جلب کرد به طوری که وی کتاب «عقل محض- کتابی برای دوستداران حکمت» او را خواند.




اما ستایش وی از تفکر واستدلال منطقی بشر، انزجار براور را برانگیخت.





براور در پاسخ به عقل گرایی بولندیک سلسله سخنرانی در سال ۱۹۰۵ تحت عنوان «فلسفه اخلاق» ایراد کرد که بعدها با عنوان «زندگی، هنر و عرفان» منتشر شد.





«زندگی، هنر و عرفان» بیانیه جوانی خشمگین استکه هر آنچه را که در سطح روئین جامعه بشری می بیند، انکار می کند و با شور و حرارتو در سبک نهضت ادبی رمانتیسم هلندی و در سال های پایانی قرن نوزدهم به آنها حمله میکند.




وی سرچشمه شر و بدی را انسان می داند و معتقد است که انسان جهان را آلوده کردهاست.




نخستین بخش مقاله وی یعنی «جهان غمگین» نمایانگر نگرش طبیعت گرایانه ویاست.




براور معتقد است که هلند سرزمینی است که بر روی آبرفت رودخانه های بزرگ قراردارد.




قبل از دخالت بشر میان تپه های شنی و دلتاهای آن از یک سو جزر و مد دریا وحوزه های آبگیر رودخانه ها از سوی دیگر توازن طبیعی برقرار بود.




حتی طغیان رودخانه ها هم بخشی از این توازن بود.این سرزمین می توانست محل زندگی انبوهی از نژاد بشرباشد.اما انسان به این مقدار راضی نبود و برای کنترل رودخانه ها، سدها را ساخت وبرای آباد کردن زمین ها مسیر رودخانه ها را تغییر داد و برای سهولت حمل و نقل رویدریاها و رودخانه ها، درختان را برید.بدین گونه توازن طبیعت به هم خورد.




براور همچونرمانتیک ها در آرزوی گذشته از دست رفته و بازگشت به زندگی بدوی چنین می گوید: «اساساً انسان در تنهایی می زیست و به وسیله طبیعت حمایت می شد.




هر فردی می کوشید که توازن خود را میان وسوسه های گناه آمیز حفظ نماید.




نه درگیری با دیگران وجود داشت ونه نگرانی درباره آینده از این رو نه کار سخت، نه اندوه، نه تنفر، نه ترس و نهشهوتی وجود داشت.




اما بشر گنجایش این موهبت ها را نداشت.او شروع به اعمال کنترل رویهمنوعانش کرد و در جست وجو ی قطعیتی در آینده برآمد.بدین گونه توازن طبیعت از بینرفت.





اما براور تنها به مرثیه سرایی درباره دنیای از دست رفته نمی پردازد، بلکه سعی می کند که برای خود راه گریزی از این درد و اندوه بیابد.




وی معتقد است برای تعمقو تفکر درباره این جهان حزن آلود انسان باید به درون خود بنگرد.




وی در بخش دوم مقالهیعنی «بازگشت به خود» به بررسی چنین سفر درونی می پردازد.




او معتقد است که محتویآگاهی درون انسان به طور مداوم در حال تغییر است.




آیا انسان بر این تغییرات اشراف دارد براور بر آن است که هر کسی که درباره پاسخ به این پرسش فکر کند، احتمالاً جواب منفی می دهد، زیرا انسان خود را در جهانی می یابد که خودش آن را نیافریده است.




اماآیا انسان قادر است که بر آگاهی خویش تسلط یابد براور معتقد است که این امر امکانپذیر است زیرا تجربه های دینی شاهدی بر این ادعا هستند هنگامی که انسان از شهوات،ترس، آزمندی، فضا، زمان و به طور کلی از تمام دنیای ادراک پذیر دوری جوید، آنگاهاحساسات مذهبی را در درون خود می یابد و این نشانگر آن است که انسان قادر است که برخود کنترل داشته باشد.




حال این پرسش مهم مطرح می گردد که «این خود چیست، شما نه میتوانید درباره آن چیزی بگویید و نه قادرید درباره اش استدلال کنید.




زیرا بخوبی میدانید که هر صحبت و استدلالی درباره خود، توجهی به خود، از فاصله ای دور از آناست.




در واقع شما نمی توانید با کلمات، معانی یا استدلالات به خود، نزدیک شوید.




اینامر تنها به وسیله بازگشت به خود، آن گونه که در نزد شما یافت می شود، امکان پذیراست.»





براور معتقد است هنگامی که انسان به خود بازگردد به چیزی بس مهم دست خواهدیافت و آن احساس وجود خدا است.





ریشه های این رویکرد عرفانی براور به خود و خدارا می توان در نقل قول های وی از عرفای قرون وسطی همچون مایستراک هارت و جاکوب بوهم دید.





همان طور که می بینیم براور زائیده عصر رمانتیسم بود.




طغیان در برابر عصرروشنگری و جست وجو ی خویش در احساسات و شهودات فردی، یأس، حزن و بدبینی نسبت بهجهانی که در آن می زیست و گرایش به عرفان های شرقی برای از بین بردن این رنج واندوه، همه و همه حکایتگر ویژگی های عصری بود که تلاش می کرد تا انسان را به ارزشهای از دست رفته اش پس از نهضت روشنگری و ظهور سرمایه داری بازگرداند.




هر فردی که دراین عصر زندگی می کرد به لحاظ خصلت های روحی- فردی خویش، برخی یا تمام این ویژگی هارا به ارث می برد و بازتاب آن در کارش مشاهده می شد.




شاعری که در این فضا شعر میگفت، شعرش سبک رمانتیک داشت.




فیلسوفی که در این عصر می اندیشید -همچون هامان و هردر- فلسفه اش به جای عقل بر شور باطنی تأکید داشت.




معماری که در این زمانه به معماری میپرداخت، معماری گوتیک را بر معماری کلاسیک ترجیح می داد.




نقاشی که در این عصر نقاشیمی کرد، نقاشی از طبیعت و مناظر را بیش از انواع دیگر نقاشی ها می پسندید.




پس آیاامکان نداشت ریاضیدانی مثل براور که در این عصر به تفکر انتزاعی ریاضی می پرداخت،نتیجه تأملاتش یا به عبارت دیگر محصولات ریاضی اش از حال و هوای این عصر نشأت گرفته باشد.





کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا، نخستین صورت بندیمنظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.




وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان رامطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.




منهایم معتقد است: «این که دو ضرب در دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند، اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخی نشان می دهند که ریاضیدانان و معرفتریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند.




دراین مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد. بخش اول این مقاله را روز شنبه خوانده ایدآنچه پیش روی شماست بخش پایانی این بررسی است.

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

۳) شهود پایه






عقل گریزی عصررمانتیک سبب شده بود که براور با دوری جستن از استدلال های عقلی، تلاش کند تا باغور کردن در درون احساساتش به دنبال احساسات بنیادینی بگردد که بتواند اعتقادات زندگی خویش را برآن بنا کند





.پس از بازشناختن خود و خدای خویش، بزرگترین دلمشغولیبراور تفکر و اندیشیدن درباره ریاضیات بود.ریاضیات چیست و تفکر ریاضی بر چه مبناییقرار دارد پرسش هایی هستند که وی با آنها روبه رو بود.





وی آنقدر ریاضی می دانست کهبا نظرات ریاضیدانان معاصرش آشنا باشد.





آیا ریاضیات همانگونه که راسل و وایتهد میگفتند، چیزی جز منطق نیست یا آنگونه که هیلبرت می گفت مجموعه ای از علائم ونمادهاییاست که با اصول و قواعدی که تعریف می شوند، مدل های ریاضی را به وجود میآورند او که ریشه عمیق ترین اعتقاداتش به خود را در درونی ترین احساساتش یافته بود،پس چرا در این مورد نیز به سراغ احساساتش نرود و مبانی ریاضی را در درونی تریناحساساتش نجوید






براور هنگامی که به درون نگری می پردازد و سعی در خود آگاهیدارد، حالت هایی در آگاهی خویش احساس می کند که در آن حالت ها احساسات همچون سیالی می آیند و می روند.وی می گوید:





به نظر می رسد که «آگاهی در عمیق ترین مأوایش نوسانیآهسته، غیرارادی و برگشت پذیر میان سکون و احساس است.»





ذهن همواره در حال گذر از یکاحساس کنونی به احساس کنونی دیگر است.





در آخرین حالت، صورت حسی پیشین به عنوان احساسگذشته برای ذهن باقی می ماند، ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین واحساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.





براور ازترکیب دو صورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه «دوگانگی» ناممی برد.





این تجربه به واسطه ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین و احساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.





براور از ترکیب دوصورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه دوگانگی نام می برد.





اینتجربه به واسطه «گذر زمان» به وجود می آید.





به عبارت دیگر دوگانگی با گذر زمان متولدمی شود.ذهن با انتزاع از تعداد زیادی از تجربه های دوگانگی به نخستین دو عدد طبیعییعنی ۱ و ۲ می رسد.






● براور این فرایند را چنین توصیف می کند






«ریاضیات وقتیبه وجود می آید که دوگانگی هایی که با گذر زمان خلق می شوند، توسط ذهن از هرمحتوایی عاری شوند.





در آن هنگام این شکل خالی از هر محتوایی که اساس مشترک همه دوگانگی ها است، به عنوان شهود پایه ریاضیات باقی می ماند که بدون هیچ محدودیتیآشکار شده است» (براور ۱۹۴۸ ص ۴۸۲).






در واقع براور معتقد است که انسان اعدادطبیعی را در ذهن خود می سازد.





به عبارت دیگر نه خود عمل ساختن و نه مفاهیم ساخته شده، نمی توانند کاملاً از ذهن سازنده آنها جدا باشند.





یک مفهوم ریاضی از عملی که آنرا به وجود می آورد و به دست می دهد، قابل تفکیک نیست.





ذهن تنها یک سازنده یا مادریکه وجود مستقلی را می زاید، نیست.





اشیای ریاضی تنها به عنوان یک فکر یعنی بخشی ازآگاهی حیات دارند.





علاوه بر این «ذهن خالق» تماماً درگیر عمل ساختن است.





وقتی براوراز عمل «آگاهانه» به واسطه «اراده» صحبت می کند در واقع عنصر آزادی را که عنصرحیاتی هر ساختنی است در حوزه ریاضیات وارد می کند.





بویژه بخش هایی از ریاضیات که به عنوان عملگرها، رابطه ها و توابع توصیف می شوند.






بنابراین وجود یک شیء ریاضی،حضور آن به عنوان یک فکر در آگاهی است.به عبارت دیگر «خلق شدن یا بودن یا ساخته شدنبا عناصری از شهود در شهود پایه است.»





در این شهود پایه مفاهیم دوگانگی، در عین حالی که از هم جدا هستند با هم نیز یکی هستند، به گونه ای که تنها در یک عمل شهودیقابل خلق شدن هستند.





«یک شهود پایه پیشینی و منفرد که می تواند به عنوان ثبات درتغییر یا وحدت در کثرت توصیف شود...نخستین عمل ساختی ای است که دو چیز جدا از هم رابا هم می پندارد.»






پس از نخستین عمل ساختی که منجر به ساخته شدن اعداد ۱ و ۲ میشود، ما می توانیم با تکرار این فرایند اعداد طبیعی بعدی را برای ذهن مشخص کنیم.





بااین روش هیچ چیزی به عنوان تمامیت کاملی از اعداد طبیعی وجود ندارد.





به عبارت دیگرما نمی توانیم از «مجموعه اعداد طبیعی» صحبت کنیم، بلکه ما تنها می توانیم ازفرایند ساخته شدن گام به گام اعداد طبیعی سخن به میان آوریم.






پس از ساخته شدناعداد طبیعی به روش فوق، می توان از جمع میان دو عدد طبیعی صحبت کرد.





برای مثال ماچگونه می دانیم که ۱۲= ۵+۷ می شود ابتدا، در فکرمان ۷ را می سازیم.





سپس عمل ساختنویژه ای که ۷ را به ۵ می افزاید انجام می دهیم.

سپس ۱۲ را می سازیم و سرانجام عملساختن مقایسه ای را انجام می دهیم که برابر بودن مجموع ۷ و ۵ با ۱۲ را برقرار میسازد.چنین ریاضیاتی که اساس آن بر ساختن گام به گام بر مبنای شهود پایه بنا شدهاست، ریاضیات شهودی یا ریاضیات ساختی می نامند.

https://www.uplooder.net/img/image/2...B%B1%DB%B5.jpg

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

۴) زبان- منطق








جنبش رمانتیک باب این بحث را گشود که روشنگری خصم جهان ارزشی آدمی است و با الگوبرداری یکسویه ازعلم طبیعی انسان را به شیء فرومی کاهد و جامعه ارگانیک بشری را به جامعه مکانیک مبدل می سازد.







تحت تأثیر همین نگاه به دنیای مدرن، براور معتقد است که بشر اولیه بهوسیله نگاه، ایما و اشاره و ارتباط های روحی از فواصل دور با یکدیگر ارتباط برقرارمی کرد.







اما از زمانی که تعقل و تفکر پا به عرصه گذاشت این ارتباط با زبان انجامگرفت.







به بیانی دیگر «زبان شریک بلافصل تعقل است».








انسان ها کوشیدند که خود وفرزندانشان را با زبان صوری آموزش دهند که با مشقت بسیاری همراه بود و در برقرارکردن ارتباط میان آنها چندان موفق نبود.







نیازها، آرمان ها و آرزوهای انسان هامتفاوتند، از این رو زبان را به معناهای متفاوتی به کار می برند و در نتیجه قادرنیستند با یکدیگر ارتباط مستقیم و بدون ابهام داشته باشند.







«زبان تنها می تواندمشایعت کننده فهم و درک متقابل از قبل موجود باشد.» فهم و درکی که به واسطه ارتباطمیان روح انسان ها به وجود آمده است.







از نظر براور «زبان تنها در فرهنگ بشری و بهواسطه آن به حیات خود ادامه می دهد که از طرفی به فهمی متقابل نیازمند است و از طرفدیگر ارتباط مستقیم میان انسان ها را ناممکن می سازد.»







از این رو انسان ها «در ترسو واهمه تنهایی خودشان به صورت ماشین هایی اتوماتیک درمی آیند، بردگان ماشین غولپیکر ارتباط جمعی» حقیقت اغلب به وسیله کلمات یا ترکیبات پیچیده ای از کلمات، که اززبان جمعی وام گرفته شده است، انتقال داده می شود.







بنابراین برای موضوعی که به وسیله زبان بیان می شود، یعنی با مجموعه ای از کلمات، همواره تعریفی از پیش ارائه شدهوجود دارد که افراد مطابق آن با موضوع رفتار می کنند.







همچنین سیستمی از قوانین کلیبه نام منطق وجود دارد که می توان موضوع مورد نظر را از مجموعه ای از سیستم های کلمه ای استنتاج کرد.







در این حالت نیز حقیقت موضوع مورد نظر به وسیله منطق تحت تأثیرقرار می گیرد و دوباره افراد به جای آن که با حقیقت موضوع در رابطه باشند، تحتتأثیر منطق با آن رفتار می کنند.







بنابراین «منطق ابزار اطمینان بخشی برای کشف حقایقنیست» اما ریاضیات کلاسیک از همین منطق برای رسیدن به حقایق ناشناخته استفاده میکند.







و به شکل ویژه ای اصل طرد شق ثالث را برای اثبات های ریاضی به کار می گیرد که مطابق آن یک گزاره یا صادق یا کاذب است.








براور معتقد است که «ریاضیات شهودگرایینشان می دهد که قضایای ریاضیات به طور صریح و قطعی از ساختن های درون نگرانهاستنتاج می شود» و از این رو معتبر است.







اگر منطق نیز بخواهد قابل اتکا و اطمینان باشد باید شیوه ساختنی بودن متناهی را به کار گیرد که مطابق آن قانون طرد شق ثالثنفی می شود.








عدد x را در نظر بگیرید که برابر k(۱-) تعریف می شود، که در آن k شماره نخستین رقم در بسط اعشاری عدد پی است که دنباله ارقام متوالی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ با آنشروع می شود، و در صورت نبودن چنین kیی، ۰=x است حال گرچه x خوش تعریف است، نمیتوانیم بلادرنگ، تحت محدودیت های شهودگرا، بگوییم که گزاره ۰=x درست یا نادرستاست.







تنها به شرطی می توان گفت این گزاره درست است که برهانی از آن را بتوان باتعدادی مراحل متناهی ساخت، و تنها به شرطی می توان گفت نادرست است که برهانی ازچنین وضع با تعدادی مراحل متناهی ساخته شود.مادامی که یکی از این دو برهان ساخته نشده اند، گزاره نه درست است و نه نادرست و قانون طرد شق ثالث غیرقابل کاربرداست.







اما اگر k را به عددی کوچکتر از مثلاً یک بیلیون محدود کنیم، آن گاه کاملاًدرست است بگوییم که اینک گزاره درست یا نادرست است، زیرا، برای k کوچکتر از یکبیلیون، درستی یا نادرستی گزاره را مطمئناً می توان طی یک رشته متناهی از محاسباتتعیین کرد.








بنابراین، برای شهودگرایان، قانون طرد شق ثالث برای مجموعه هایمتناهی برقرار است، ولی نباید آن را در مورد مجموعه های نامتناهی در ریاضیات به کاربرد.







آنگونه که ایوز، مورخ مشهور ریاضیات می گوید، «براور تقصیر چنین اوضاعی را بهگردن بسط منطق از لحاظ جامعه شناختی می اندازد.







قوانین منطق در زمانی از تکامل انسانظاهر شده است که وی زبان مناسبی برای پرداختن به مجموعه های متناهی از پدیده ها دراختیار داشته است؛ او سپس خطای به کار بردن این قوانین را در مجموعه های نامتناهیدر ریاضیات مرتکب و نتیجه آن شده است که تعارض ها در احکام ظاهر شوند.»








مطابقاین ریاضیات، تصور صدق یا کذب یک حکم ریاضی مستقل از معرفت ما نسبت به آن حکم، بیمعنی است.یک حکم راست است، اگر برهانی برای آن داشته باشیم، یعنی روشی ساختی که درنهایت به آن حکم برسیم.







همچنین یک حکم غلط است، اگر بتوانیم نشان دهیم که فرض این کهبرهانی برای آن وجود دارد، منجر به تناقض می شود.برای مثال A^B درست است، اگربتوانیم برهانی برای آن ارائه دهیم و این بدان معنی است که برهانی برای A و برهانیبرای B ارائه نماییم.







همین طور AvB درست است، هرگاه بتوانیم برهانی برای آن ارائهدهیم و این به معنی آن است که برهانی برای A یا برهانی برای B ارائه کنیم.همچنینبرهان برای ترکیب شرطی ]B A عبارتست از ساختمانی که هر برهان برای A را به برهانیبرای B تبدیل می کند.








در منطق شهودگرایی، تناقض هیچ برهانی ندارد و هر برهانبرای نقیض یک گزاره یعنی ~A ساختمانی است که هر برهان فرضی برای A را به برهانیبرای یک تناقض تبدیل می کند.







از این رو Av~A از نظر ساختی معتبر نیست.البته بایدتوجه کرد که گرچه اصل طرد شق ثالث معتبر نیست، اما این بدان معنی نیست که (Av~A)~ درست است.







صورت های دیگر این اصل، مثل ~~A]A نیز در منطق شهودگرایی معتبرنیستند.







بنابراین «برهان خلف» به معنی کلاسیک آن در منطق شهودگرایی معتبر نیست، زیرادر برهان خلف، استنتاج به این شکل است که وقتی می خواهیم حکم A را ثابت کنیم، فرضمی کنیم چنین نباشد یعنی ~A بعد به تناقض می رسیم.







در منطق کلاسیک در این مرحله A رانتیجه می گیریم، اما آنچه که می توانیم بگوییم ~~A است و چون ~~A]A اصلی معتبرنیست، نمی توانیم A را نتیجه بگیریم.







براور نشان داد که برای هر حکم A در منطقشهودگرایی داریم: ~A~~~A بنابراین برهان خلف برای احکامی که به صورت نقیض هستند،یعنی می توان آنها را به شکل ~A نشان داد، معتبر است.








از نظر معناشناسی نیز بینمنطق شهودگرایی و منطق کلاسیک فرقی اساسی وجود دارد.برخلاف منطق کلاسیک کهمعناشناسی آن مبتنی بر جهانی ثابت از اشیا است، جهان معناشناسی منطق شهودگرایی متغیر است.







این تغییر هم در اشیا و هم در امور واقع اتفاق می افتد.معناشناسی هایمختلفی برای بیان جهان متغیر از اشیا ارائه شده است که از میان آنها می توان بهمعناشناسی کریپکی و جبیرهیتینگ اشاره نمود.

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

● جمعبندی








همانطور که ملاحظه شد،پیامدهای ریاضیات شهودگرایی جنبه انقلابی دارند.پافشاری بر روش های ساختی به تصوریاز وجود در ریاضیات منجر می شود که آن چیزی نیست که همه ریاضیدانان بدان اعتقادداشته باشند.





برای شهودگرایان، هستی که اثبات وجود آن لازم است، باید در تعدادیمراحل متناهی ساختنی باشد، کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقضشود.





این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی ای که در ریاضیات کنونی دیده میشوند، برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.






از پیامدهای دیگر روش ساختی، نظریهمجموعه ها است.





از نظر شهودگرایان، یک مجموعه را نمی توان به عنوان گردایه ساخته وپرداخته ای تصور کرد، بلکه باید آن را به عنوان قانونی تلقی کرد که به کمک آن عناصرمجموعه را بتوان به یک روال قدم به قدم بنا کرد.





این مفهوم مجموعه امکان وجود مجموعههای تناقض آمیزی مانند «مجموعه همه مجموعه ها» را رد می کند.






در حال حاضرشهودگرایان در بازسازی قسمت های مهمی از ریاضیات کنونی، منجمله یک نظریه پیوستار ویک نظریه مجموعه ها توفیق یافته اند، ولی هنوز راه زیادی در پیش است.





اما باید توجهکرد که از زمان پیدایش کامپیوترها و زبان های برنامه نویسی مجرد، می دانیم که ساختنهایی از نوع روش ساختی ریاضیات شهودگرایی بازی بیهوده ای نیستند.





آنها در قلبریاضیات هستند.

منبع:::

غلامحسین مقدم حیدری‎
پژوهشگر پژوهشگاه علومانسانی و مطالعات فرهنگی
روزنامه ایران

https://www.uplooder.net/img/image/26/6d9cab20e98b23cd47adef780830dd4c/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B0%DB%B0%DB%B5%DB%B1%DB%B8-%DB%B1%DB%B5%DB%B4%DB%B

[حسنعلی ابراهیمی سعید]

ریاضیدان رمانتیک






کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا،نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.




وی معتقد است هرپژوهنده ای جهان را مطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.




منهایم معتقد است: «این که دو ضربدر دو برابر است با چهار، بههیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده، در صورتیکه در مورد یک اثر تحقیقی در علوم اجتماعی ...می توانیم از «نفوذ پایگاه اجتماعی» پژوهنده در نتایج تحقیقی اش سخن بگوییم» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقههمچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند،از این رو نمی توان این علوم را به شرایط زندگانی، بویژه جایگاه و مقام دانشمندی که به بسط و توسعه آنها مشغول است، مرتبط نمود.




به بیانی دیگر، عوامل اجتماعی نمیتوانند در نتایج این گونه اندیشه ها تأثیر گذار باشند و نشانه هایی که نمایانگر اصلو منشأ انسانی آنهاست، در این علوم هویدا نیست.




اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخینشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند که پدیدآورندگان آنها در آن زندگی می کنند.




دراین مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد.





۱) اعتراف نامه ایمان





لوئیتزن اخبرتوسیان براور در ۲۷ فوریه ۱۸۸۱ در حالی که تنها دو دهه به پایان قرن نوزدهم - عصراحساس- باقی بود در هلند به دنیا آمد.




وی در ۱۸۹۰ در سن ۹ سالگی وارد دبیرستان شد کهاین امر تا آن زمان سابقه نداشت.




دوران دبیرستان براور بدون هیچ مشکلی سپری شد و درتمام مدت تحصیل شاگرد اول بود.




در سال ۱۸۹۵ موفق به دریافت مدرک دبیرستان شد.




درپائیز ۱۸۹۷ براور در سن ۱۶ سالگی در رشته ریاضیات در دانشگاه شهری آمستردام ثبت نامکرد.




او درس هایش را با شور و شوق فراوانی آغاز کرد.




بزودی نبوغ ریاضی وی به وسیله استادان و دانشجویان سال های بالاتر شناخته شد.




او از این که به عنوان دانشجوی سالاولی برای عضویت در جامعه «گروه دانشجویان» دعوت شده بود، احساس لذت می کرد اماگروه های شلوغ دانشجویان با آن هیاهوی دوران جوانی چندان مورد پسند براور نبود ورضایت خاطر وی را فراهم نمی کرد.




او اساساً فردی اجتماعی نبود.تکبر و کمرویی وی رااز ریاضیدانان جوان بزرگتر از خودش دور نگه می داشت.




او بیشتر علاقه مند بود کهاوقاتش را در خانه و در جمع دوستان شاعرش بگذراند، کسانی همچون کارل آدما واناسخلتما، جان لاک هرست و آلبرت پلاشرت.




این شاعران جوان متعلق به جنبش رمانتیسم قرننوزدهم بودند و روابط نزدیک براور با آنها سبب شد که وی تحت تأثیر افکار و اندیشه های عصر احساس قرار گیرد که نمودهای آن را می توان در بدبینی و انزواطلبی وی بخوبیدید.





براور در سن ۱۷ سالگی در کلیسای هارلم اعتراف نامه ای را ایراد کرد.




وی در «اعتراف نامه ایمان» خود همچون پیتیست ها بر نقش اساسی مکاشفه و راز و نیاز فردیبرای درک خداوند تکیه کرد تا بر استدلال های خشک فلسفی و کلامی.




براور در بخشی ازاین اعترافات از مبانی بنیادین ایمانش به خدا می پرسد.




او معتقد است که ایمان وی به خدا به خاطر استدلال های عقلانی مبتنی بر پدیده های اطراف وی نیست، بلکه برعکس ویدر اعتقاد به خدا از فکر و اندیشه اش به هیچ عنوان کمک نمی گیرد.




براور همچون رمانتیست های هم عصرش از عقل می گریزد و سعی دارد که تمام اعتقادات خود را بر پایهاحساس و شهود بنا نماید.




از نظر او تنها حقیقت، «احساس» خودش است و هیچ واقعیت دیگریمستقل از خودش برای او وجود ندارد.





براور در سال ۱۹۰۴ ازدواج کرد و در طول سالهای اولیه زندگی مشترکش بیش از پیش در خود فرو می رفت.




او در جست وجو ی تنهایی ازآپارتمانی به آپارتمان دیگری در آمستردام نقل مکان می کرد.




تنها دوستان نزدیک ویهمان سه شاعر رمانتیک بودند.




براور گرچه در بیان هنرمندانه احساساتش ناتوان بود، امااحساس قرابت بسیاری با خلق و خوی رمانتیک دوستانش می کرد.




بویژه خصلت هایی همچونبدبینی و یأس از جامعه معاصر و طغیان علیه همه اشکال استقرار یافته آن.





وی درتلاش برای بازیافتن خویش، در سال ۱۸۹۹ در حالی که خرقه مشکی گشادی به تن داشت،پیاده سفری به ایتالیا کرد و به زیارت فلورانس و رم رفت.




این سفرها نگرشی جهان وطنیبه اودادند و سبب فرو رفتن وی در خود و تفکر درباره موضوعاتی همچون:




خود، زندگی،ارتباطات بشری، حقیقت و علم شد.




این تفکر و تعمق که حاصل روحیه رمانتیک وی بود،افسردگی شدیدی را برای براور در پی داشت و سبب غیبت وی در کلاس های دانشگاه شد.




امافشار خانواده و نیاز به امنیت شغلی و ضعف جسمانی او برای انجام شغل دیگری، مانع ترکفوری تحصیل اش شد، اما این که کل زندگی اش را به ریاضیات اختصاص دهد برایش بیشتر وبیشتر تحمل ناپذیرتر می شد.




او خودش را منزوی کرد و در انزوای خود از بیماری عصبی ومزاجی اش رنج می برد و سعی در تحمل حملات عصبی اش داشت.





۲) جهان غمگین





ملاقات براور با ریاضیدان خودساخته ای به نام خریت مانوری تأثیر عمیقی بر وی گذاشت و سبببازگشت وی به تحصیل و توجه به مسائلی در بنیادهای ریاضیات شد.




به طوری که در فوریهسال ۱۹۰۴ مقاله ای درباره توپولوژی در مجله انجمن سلطنتی هلند منتشر کرد.




وی در ژوئن همان سال امتحانات نهایی دانشگاه را گذراند.




وی پایان نامه اش را با دیدریک یوهانسکورتوخ، ریاضیدان کاربردی برجسته، گذراند و در فصل هایی از آن به مباحث بنیادینریاضیات پرداخت.




این سال ها همزمان با گسترش فلسفه در میان عامه مردم در هلندبود.




بولند فیلسوف خودساخته ای بود که در این زمینه فعالیت بسیاری داشت.




حملاتشدیداللحن وی به ماتریالیسم و لذت گرایی توجه براور را به خود جلب کرد به طوری که وی کتاب «عقل محض- کتابی برای دوستداران حکمت» او را خواند.




اما ستایش وی از تفکر واستدلال منطقی بشر، انزجار براور را برانگیخت.





براور در پاسخ به عقل گرایی بولندیک سلسله سخنرانی در سال ۱۹۰۵ تحت عنوان «فلسفه اخلاق» ایراد کرد که بعدها با عنوان «زندگی، هنر و عرفان» منتشر شد.





«زندگی، هنر و عرفان» بیانیه جوانی خشمگین استکه هر آنچه را که در سطح روئین جامعه بشری می بیند، انکار می کند و با شور و حرارتو در سبک نهضت ادبی رمانتیسم هلندی و در سال های پایانی قرن نوزدهم به آنها حمله میکند.




وی سرچشمه شر و بدی را انسان می داند و معتقد است که انسان جهان را آلوده کردهاست.




نخستین بخش مقاله وی یعنی «جهان غمگین» نمایانگر نگرش طبیعت گرایانه ویاست.




براور معتقد است که هلند سرزمینی است که بر روی آبرفت رودخانه های بزرگ قراردارد.




قبل از دخالت بشر میان تپه های شنی و دلتاهای آن از یک سو جزر و مد دریا وحوزه های آبگیر رودخانه ها از سوی دیگر توازن طبیعی برقرار بود.




حتی طغیان رودخانه ها هم بخشی از این توازن بود.این سرزمین می توانست محل زندگی انبوهی از نژاد بشرباشد.اما انسان به این مقدار راضی نبود و برای کنترل رودخانه ها، سدها را ساخت وبرای آباد کردن زمین ها مسیر رودخانه ها را تغییر داد و برای سهولت حمل و نقل رویدریاها و رودخانه ها، درختان را برید.بدین گونه توازن طبیعت به هم خورد.




براور همچونرمانتیک ها در آرزوی گذشته از دست رفته و بازگشت به زندگی بدوی چنین می گوید: «اساساً انسان در تنهایی می زیست و به وسیله طبیعت حمایت می شد.




هر فردی می کوشید که توازن خود را میان وسوسه های گناه آمیز حفظ نماید.




نه درگیری با دیگران وجود داشت ونه نگرانی درباره آینده از این رو نه کار سخت، نه اندوه، نه تنفر، نه ترس و نهشهوتی وجود داشت.




اما بشر گنجایش این موهبت ها را نداشت.او شروع به اعمال کنترل رویهمنوعانش کرد و در جست وجو ی قطعیتی در آینده برآمد.بدین گونه توازن طبیعت از بینرفت.





اما براور تنها به مرثیه سرایی درباره دنیای از دست رفته نمی پردازد، بلکه سعی می کند که برای خود راه گریزی از این درد و اندوه بیابد.




وی معتقد است برای تعمقو تفکر درباره این جهان حزن آلود انسان باید به درون خود بنگرد.




وی در بخش دوم مقالهیعنی «بازگشت به خود» به بررسی چنین سفر درونی می پردازد.




او معتقد است که محتویآگاهی درون انسان به طور مداوم در حال تغییر است.




آیا انسان بر این تغییرات اشراف دارد براور بر آن است که هر کسی که درباره پاسخ به این پرسش فکر کند، احتمالاً جواب منفی می دهد، زیرا انسان خود را در جهانی می یابد که خودش آن را نیافریده است.




اماآیا انسان قادر است که بر آگاهی خویش تسلط یابد براور معتقد است که این امر امکانپذیر است زیرا تجربه های دینی شاهدی بر این ادعا هستند هنگامی که انسان از شهوات،ترس، آزمندی، فضا، زمان و به طور کلی از تمام دنیای ادراک پذیر دوری جوید، آنگاهاحساسات مذهبی را در درون خود می یابد و این نشانگر آن است که انسان قادر است که برخود کنترل داشته باشد.




حال این پرسش مهم مطرح می گردد که «این خود چیست، شما نه میتوانید درباره آن چیزی بگویید و نه قادرید درباره اش استدلال کنید.




زیرا بخوبی میدانید که هر صحبت و استدلالی درباره خود، توجهی به خود، از فاصله ای دور از آناست.




در واقع شما نمی توانید با کلمات، معانی یا استدلالات به خود، نزدیک شوید.




اینامر تنها به وسیله بازگشت به خود، آن گونه که در نزد شما یافت می شود، امکان پذیراست.»





براور معتقد است هنگامی که انسان به خود بازگردد به چیزی بس مهم دست خواهدیافت و آن احساس وجود خدا است.





ریشه های این رویکرد عرفانی براور به خود و خدارا می توان در نقل قول های وی از عرفای قرون وسطی همچون مایستراک هارت و جاکوب بوهم دید.





همان طور که می بینیم براور زائیده عصر رمانتیسم بود.




طغیان در برابر عصرروشنگری و جست وجو ی خویش در احساسات و شهودات فردی، یأس، حزن و بدبینی نسبت بهجهانی که در آن می زیست و گرایش به عرفان های شرقی برای از بین بردن این رنج واندوه، همه و همه حکایتگر ویژگی های عصری بود که تلاش می کرد تا انسان را به ارزشهای از دست رفته اش پس از نهضت روشنگری و ظهور سرمایه داری بازگرداند.




هر فردی که دراین عصر زندگی می کرد به لحاظ خصلت های روحی- فردی خویش، برخی یا تمام این ویژگی هارا به ارث می برد و بازتاب آن در کارش مشاهده می شد.




شاعری که در این فضا شعر میگفت، شعرش سبک رمانتیک داشت.




فیلسوفی که در این عصر می اندیشید -همچون هامان و هردر- فلسفه اش به جای عقل بر شور باطنی تأکید داشت.




معماری که در این زمانه به معماری میپرداخت، معماری گوتیک را بر معماری کلاسیک ترجیح می داد.




نقاشی که در این عصر نقاشیمی کرد، نقاشی از طبیعت و مناظر را بیش از انواع دیگر نقاشی ها می پسندید.




پس آیاامکان نداشت ریاضیدانی مثل براور که در این عصر به تفکر انتزاعی ریاضی می پرداخت،نتیجه تأملاتش یا به عبارت دیگر محصولات ریاضی اش از حال و هوای این عصر نشأت گرفته باشد.





کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا، نخستین صورت بندیمنظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.




وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان رامطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.




منهایم معتقد است: «این که دو ضرب در دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند، اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخی نشان می دهند که ریاضیدانان و معرفتریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند.




دراین مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد. بخش اول این مقاله را روز شنبه خوانده ایدآنچه پیش روی شماست بخش پایانی این بررسی است.





۳) شهود پایه






عقل گریزی عصررمانتیک سبب شده بود که براور با دوری جستن از استدلال های عقلی، تلاش کند تا باغور کردن در درون احساساتش به دنبال احساسات بنیادینی بگردد که بتواند اعتقادات زندگی خویش را برآن بنا کند





.پس از بازشناختن خود و خدای خویش، بزرگترین دلمشغولیبراور تفکر و اندیشیدن درباره ریاضیات بود.ریاضیات چیست و تفکر ریاضی بر چه مبناییقرار دارد پرسش هایی هستند که وی با آنها روبه رو بود.





وی آنقدر ریاضی می دانست کهبا نظرات ریاضیدانان معاصرش آشنا باشد.





آیا ریاضیات همانگونه که راسل و وایتهد میگفتند، چیزی جز منطق نیست یا آنگونه که هیلبرت می گفت مجموعه ای از علائم ونمادهاییاست که با اصول و قواعدی که تعریف می شوند، مدل های ریاضی را به وجود میآورند او که ریشه عمیق ترین اعتقاداتش به خود را در درونی ترین احساساتش یافته بود،پس چرا در این مورد نیز به سراغ احساساتش نرود و مبانی ریاضی را در درونی تریناحساساتش نجوید






براور هنگامی که به درون نگری می پردازد و سعی در خود آگاهیدارد، حالت هایی در آگاهی خویش احساس می کند که در آن حالت ها احساسات همچون سیالی می آیند و می روند.وی می گوید:





به نظر می رسد که «آگاهی در عمیق ترین مأوایش نوسانیآهسته، غیرارادی و برگشت پذیر میان سکون و احساس است.»





ذهن همواره در حال گذر از یکاحساس کنونی به احساس کنونی دیگر است.





در آخرین حالت، صورت حسی پیشین به عنوان احساسگذشته برای ذهن باقی می ماند، ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین واحساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.





براور ازترکیب دو صورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه «دوگانگی» ناممی برد.





این تجربه به واسطه ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین و احساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.





براور از ترکیب دوصورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه دوگانگی نام می برد.





اینتجربه به واسطه «گذر زمان» به وجود می آید.





به عبارت دیگر دوگانگی با گذر زمان متولدمی شود.ذهن با انتزاع از تعداد زیادی از تجربه های دوگانگی به نخستین دو عدد طبیعییعنی ۱ و ۲ می رسد.






● براور این فرایند را چنین توصیف می کند






«ریاضیات وقتیبه وجود می آید که دوگانگی هایی که با گذر زمان خلق می شوند، توسط ذهن از هرمحتوایی عاری شوند.





در آن هنگام این شکل خالی از هر محتوایی که اساس مشترک همه دوگانگی ها است، به عنوان شهود پایه ریاضیات باقی می ماند که بدون هیچ محدودیتیآشکار شده است» (براور ۱۹۴۸ ص ۴۸۲).






در واقع براور معتقد است که انسان اعدادطبیعی را در ذهن خود می سازد.





به عبارت دیگر نه خود عمل ساختن و نه مفاهیم ساخته شده، نمی توانند کاملاً از ذهن سازنده آنها جدا باشند.





یک مفهوم ریاضی از عملی که آنرا به وجود می آورد و به دست می دهد، قابل تفکیک نیست.





ذهن تنها یک سازنده یا مادریکه وجود مستقلی را می زاید، نیست.





اشیای ریاضی تنها به عنوان یک فکر یعنی بخشی ازآگاهی حیات دارند.





علاوه بر این «ذهن خالق» تماماً درگیر عمل ساختن است.





وقتی براوراز عمل «آگاهانه» به واسطه «اراده» صحبت می کند در واقع عنصر آزادی را که عنصرحیاتی هر ساختنی است در حوزه ریاضیات وارد می کند.





بویژه بخش هایی از ریاضیات که به عنوان عملگرها، رابطه ها و توابع توصیف می شوند.






بنابراین وجود یک شیء ریاضی،حضور آن به عنوان یک فکر در آگاهی است.به عبارت دیگر «خلق شدن یا بودن یا ساخته شدنبا عناصری از شهود در شهود پایه است.»





در این شهود پایه مفاهیم دوگانگی، در عین حالی که از هم جدا هستند با هم نیز یکی هستند، به گونه ای که تنها در یک عمل شهودیقابل خلق شدن هستند.





«یک شهود پایه پیشینی و منفرد که می تواند به عنوان ثبات درتغییر یا وحدت در کثرت توصیف شود...نخستین عمل ساختی ای است که دو چیز جدا از هم رابا هم می پندارد.»






پس از نخستین عمل ساختی که منجر به ساخته شدن اعداد ۱ و ۲ میشود، ما می توانیم با تکرار این فرایند اعداد طبیعی بعدی را برای ذهن مشخص کنیم.





بااین روش هیچ چیزی به عنوان تمامیت کاملی از اعداد طبیعی وجود ندارد.





به عبارت دیگرما نمی توانیم از «مجموعه اعداد طبیعی» صحبت کنیم، بلکه ما تنها می توانیم ازفرایند ساخته شدن گام به گام اعداد طبیعی سخن به میان آوریم.






پس از ساخته شدناعداد طبیعی به روش فوق، می توان از جمع میان دو عدد طبیعی صحبت کرد.





برای مثال ماچگونه می دانیم که ۱۲= ۵+۷ می شود ابتدا، در فکرمان ۷ را می سازیم.





سپس عمل ساختنویژه ای که ۷ را به ۵ می افزاید انجام می دهیم.





سپس ۱۲ را می سازیم و سرانجام عملساختن مقایسه ای را انجام می دهیم که برابر بودن مجموع ۷ و ۵ با ۱۲ را برقرار میسازد.چنین ریاضیاتی که اساس آن بر ساختن گام به گام بر مبنای شهود پایه بنا شدهاست، ریاضیات شهودی یا ریاضیات ساختی می نامند.










۴) زبان- منطق








جنبش رمانتیک باب این بحث را گشود که روشنگری خصم جهان ارزشی آدمی است و با الگوبرداری یکسویه ازعلم طبیعی انسان را به شیء فرومی کاهد و جامعه ارگانیک بشری را به جامعه مکانیک مبدل می سازد.







تحت تأثیر همین نگاه به دنیای مدرن، براور معتقد است که بشر اولیه بهوسیله نگاه، ایما و اشاره و ارتباط های روحی از فواصل دور با یکدیگر ارتباط برقرارمی کرد.







اما از زمانی که تعقل و تفکر پا به عرصه گذاشت این ارتباط با زبان انجامگرفت.







به بیانی دیگر «زبان شریک بلافصل تعقل است».








انسان ها کوشیدند که خود وفرزندانشان را با زبان صوری آموزش دهند که با مشقت بسیاری همراه بود و در برقرارکردن ارتباط میان آنها چندان موفق نبود.







نیازها، آرمان ها و آرزوهای انسان هامتفاوتند، از این رو زبان را به معناهای متفاوتی به کار می برند و در نتیجه قادرنیستند با یکدیگر ارتباط مستقیم و بدون ابهام داشته باشند.







«زبان تنها می تواندمشایعت کننده فهم و درک متقابل از قبل موجود باشد.» فهم و درکی که به واسطه ارتباطمیان روح انسان ها به وجود آمده است.







از نظر براور «زبان تنها در فرهنگ بشری و بهواسطه آن به حیات خود ادامه می دهد که از طرفی به فهمی متقابل نیازمند است و از طرفدیگر ارتباط مستقیم میان انسان ها را ناممکن می سازد.»







از این رو انسان ها «در ترسو واهمه تنهایی خودشان به صورت ماشین هایی اتوماتیک درمی آیند، بردگان ماشین غولپیکر ارتباط جمعی» حقیقت اغلب به وسیله کلمات یا ترکیبات پیچیده ای از کلمات، که اززبان جمعی وام گرفته شده است، انتقال داده می شود.







بنابراین برای موضوعی که به وسیله زبان بیان می شود، یعنی با مجموعه ای از کلمات، همواره تعریفی از پیش ارائه شدهوجود دارد که افراد مطابق آن با موضوع رفتار می کنند.







همچنین سیستمی از قوانین کلیبه نام منطق وجود دارد که می توان موضوع مورد نظر را از مجموعه ای از سیستم های کلمه ای استنتاج کرد.







در این حالت نیز حقیقت موضوع مورد نظر به وسیله منطق تحت تأثیرقرار می گیرد و دوباره افراد به جای آن که با حقیقت موضوع در رابطه باشند، تحتتأثیر منطق با آن رفتار می کنند.







بنابراین «منطق ابزار اطمینان بخشی برای کشف حقایقنیست» اما ریاضیات کلاسیک از همین منطق برای رسیدن به حقایق ناشناخته استفاده میکند.







و به شکل ویژه ای اصل طرد شق ثالث را برای اثبات های ریاضی به کار می گیرد که مطابق آن یک گزاره یا صادق یا کاذب است.








براور معتقد است که «ریاضیات شهودگرایینشان می دهد که قضایای ریاضیات به طور صریح و قطعی از ساختن های درون نگرانهاستنتاج می شود» و از این رو معتبر است.







اگر منطق نیز بخواهد قابل اتکا و اطمینان باشد باید شیوه ساختنی بودن متناهی را به کار گیرد که مطابق آن قانون طرد شق ثالثنفی می شود.








عدد x را در نظر بگیرید که برابر k(۱-) تعریف می شود، که در آن k شماره نخستین رقم در بسط اعشاری عدد پی است که دنباله ارقام متوالی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ با آنشروع می شود، و در صورت نبودن چنین kیی، ۰=x است حال گرچه x خوش تعریف است، نمیتوانیم بلادرنگ، تحت محدودیت های شهودگرا، بگوییم که گزاره ۰=x درست یا نادرستاست.







تنها به شرطی می توان گفت این گزاره درست است که برهانی از آن را بتوان باتعدادی مراحل متناهی ساخت، و تنها به شرطی می توان گفت نادرست است که برهانی ازچنین وضع با تعدادی مراحل متناهی ساخته شود.مادامی که یکی از این دو برهان ساخته نشده اند، گزاره نه درست است و نه نادرست و قانون طرد شق ثالث غیرقابل کاربرداست.







اما اگر k را به عددی کوچکتر از مثلاً یک بیلیون محدود کنیم، آن گاه کاملاًدرست است بگوییم که اینک گزاره درست یا نادرست است، زیرا، برای k کوچکتر از یکبیلیون، درستی یا نادرستی گزاره را مطمئناً می توان طی یک رشته متناهی از محاسباتتعیین کرد.








بنابراین، برای شهودگرایان، قانون طرد شق ثالث برای مجموعه هایمتناهی برقرار است، ولی نباید آن را در مورد مجموعه های نامتناهی در ریاضیات به کاربرد.







آنگونه که ایوز، مورخ مشهور ریاضیات می گوید، «براور تقصیر چنین اوضاعی را بهگردن بسط منطق از لحاظ جامعه شناختی می اندازد.







قوانین منطق در زمانی از تکامل انسانظاهر شده است که وی زبان مناسبی برای پرداختن به مجموعه های متناهی از پدیده ها دراختیار داشته است؛ او سپس خطای به کار بردن این قوانین را در مجموعه های نامتناهیدر ریاضیات مرتکب و نتیجه آن شده است که تعارض ها در احکام ظاهر شوند.»








مطابقاین ریاضیات، تصور صدق یا کذب یک حکم ریاضی مستقل از معرفت ما نسبت به آن حکم، بیمعنی است.یک حکم راست است، اگر برهانی برای آن داشته باشیم، یعنی روشی ساختی که درنهایت به آن حکم برسیم.







همچنین یک حکم غلط است، اگر بتوانیم نشان دهیم که فرض این کهبرهانی برای آن وجود دارد، منجر به تناقض می شود.برای مثال A^B درست است، اگربتوانیم برهانی برای آن ارائه دهیم و این بدان معنی است که برهانی برای A و برهانیبرای B ارائه نماییم.







همین طور AvB درست است، هرگاه بتوانیم برهانی برای آن ارائهدهیم و این به معنی آن است که برهانی برای A یا برهانی برای B ارائه کنیم.همچنینبرهان برای ترکیب شرطی ]B A عبارتست از ساختمانی که هر برهان برای A را به برهانیبرای B تبدیل می کند.








در منطق شهودگرایی، تناقض هیچ برهانی ندارد و هر برهانبرای نقیض یک گزاره یعنی ~A ساختمانی است که هر برهان فرضی برای A را به برهانیبرای یک تناقض تبدیل می کند.







از این رو Av~A از نظر ساختی معتبر نیست.البته بایدتوجه کرد که گرچه اصل طرد شق ثالث معتبر نیست، اما این بدان معنی نیست که (Av~A)~ درست است.







صورت های دیگر این اصل، مثل ~~A]A نیز در منطق شهودگرایی معتبرنیستند.







بنابراین «برهان خلف» به معنی کلاسیک آن در منطق شهودگرایی معتبر نیست، زیرادر برهان خلف، استنتاج به این شکل است که وقتی می خواهیم حکم A را ثابت کنیم، فرضمی کنیم چنین نباشد یعنی ~A بعد به تناقض می رسیم.







در منطق کلاسیک در این مرحله A رانتیجه می گیریم، اما آنچه که می توانیم بگوییم ~~A است و چون ~~A]A اصلی معتبرنیست، نمی توانیم A را نتیجه بگیریم.







براور نشان داد که برای هر حکم A در منطقشهودگرایی داریم: ~A~~~A بنابراین برهان خلف برای احکامی که به صورت نقیض هستند،یعنی می توان آنها را به شکل ~A نشان داد، معتبر است.








از نظر معناشناسی نیز بینمنطق شهودگرایی و منطق کلاسیک فرقی اساسی وجود دارد.برخلاف منطق کلاسیک کهمعناشناسی آن مبتنی بر جهانی ثابت از اشیا است، جهان معناشناسی منطق شهودگرایی متغیر است.







این تغییر هم در اشیا و هم در امور واقع اتفاق می افتد.معناشناسی هایمختلفی برای بیان جهان متغیر از اشیا ارائه شده است که از میان آنها می توان بهمعناشناسی کریپکی و جبیرهیتینگ اشاره نمود.








● جمعبندی








همانطور که ملاحظه شد،پیامدهای ریاضیات شهودگرایی جنبه انقلابی دارند.پافشاری بر روش های ساختی به تصوریاز وجود در ریاضیات منجر می شود که آن چیزی نیست که همه ریاضیدانان بدان اعتقادداشته باشند.





برای شهودگرایان، هستی که اثبات وجود آن لازم است، باید در تعدادیمراحل متناهی ساختنی باشد، کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقضشود.





این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی ای که در ریاضیات کنونی دیده میشوند، برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.






از پیامدهای دیگر روش ساختی، نظریهمجموعه ها است.





از نظر شهودگرایان، یک مجموعه را نمی توان به عنوان گردایه ساخته وپرداخته ای تصور کرد، بلکه باید آن را به عنوان قانونی تلقی کرد که به کمک آن عناصرمجموعه را بتوان به یک روال قدم به قدم بنا کرد.





این مفهوم مجموعه امکان وجود مجموعههای تناقض آمیزی مانند «مجموعه همه مجموعه ها» را رد می کند.






در حال حاضرشهودگرایان در بازسازی قسمت های مهمی از ریاضیات کنونی، منجمله یک نظریه پیوستار ویک نظریه مجموعه ها توفیق یافته اند، ولی هنوز راه زیادی در پیش است.





اما باید توجهکرد که از زمان پیدایش کامپیوترها و زبان های برنامه نویسی مجرد، می دانیم که ساختنهایی از نوع روش ساختی ریاضیات شهودگرایی بازی بیهوده ای نیستند.





آنها در قلبریاضیات هستند.

منبع:::

غلامحسین مقدم حیدری‎
پژوهشگر پژوهشگاه علومانسانی و مطالعات فرهنگی
روزنامه ایران

https://www.uplooder.net/img/image/26/6d9cab20e98b23cd47adef780830dd4c/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B0%DB%B0%DB%B5%DB%B1%DB%B8-%DB%B1%DB%B5%DB%B4%DB%B7%DB%B1%DB%B5.jpg